Question

已知函数f（x）=

ex

x-a

，其中常数（a＜0）．
（I）若a=-1，求函数f（x）的定义域及极值；
（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤

1

2

成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数的分母不为0，可求函数的定义域；求导函数，令其大于0（小于0），结合函数的定义域，可求函数的单调区间，从而函数极值点与极值可求．
（2）由已知，f（x）=

ex

x-a

1

2

只需在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

即可．

解答：解：：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}，若a=-1，则f（x）=

ex

x-a

=

ex

x+1

f′（x）=

ex(x+1)-ex

(x+1)2

=

xex

(x+1)2

，
由f'（x）=0，解得x=0
由f'（x）＞0，解得x＞0．由f'（x）＜0，解得x＜0且x≠-1．
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（-1，0）．所以f（x）在x=0时取得极小值f（0）=1
（2）由题意可知，a＜0，且f（x）=

ex

x-a

只需在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

即可，
①若a+1＜0即a＜-1时，

x	（a，a+1）	a+1	（a+1，0）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e^a+1．则ea+1≥

1

2

，得a≥ln

1

2

  -1
②若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为f(0)=-

1

a

由-

1

a

  ≥

1

2

得a≥-2． …10分
综上所述，0＞a≥ln

1

2

  -1

点评：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求函数的极值值，考查等价转化能力，属于中档题．易错点在于最小值大于等于

1

2

而不是最大值大于等于

1

2

．