Question

函数f（x）=ax³-3x+1 对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a 的取值范围为（　　）

A．[2，+∞）

B．[4，+∞）

C．{4}

D．[2，4]

Answer 1

分析：对x分-1≤x＜0，x=0，0＜x≤1三种情况分别求出a的取值范围，然后求其交集即可．

解答：解：①当x=0时，f（x）=1≥0，对于a∈R皆成立．
②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax³-3x+1≥0，∴a≥

3

x2

-

1

x3

，
令g（x）=

3

x2

-

1

x3

，g^′（x）=

-6

x3

+

3

x4

=

-6(x- 1 2 )

x4

，令g^′（x）=0，解得x=

1

2

．
当0＜x＜

1

2

时，g^′（x）＞0；当

1

2

＜x≤1时，g^′（x）＜0．
∴g（x）在x=

1

2

时取得最大值，g（

1

2

）=4，∴a≥4．
③当-1≤x＜0时，若总有f（x）=0，则 ax³-3x+1≥0，∴a≤

3

x2

-

1

x3

．
令h（x）=

3

x2

-

1

x3

，则h^′（x）=

-6(x- 1 2 )

x4

≥0，
∴h（x）在[-1，0）上单调递增，
∴当x=-1时，h（x）取得最小值，h（-1）=4，∴a≤4．
由①②③可知：若函数f（x）=ax³-3x+1 对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足

a∈R a≥4 a≤4

，解得a=4．
∴a 的取值范围为{4}．
故选C．

点评：本题考查了含参数的函数在闭区间（含0）上恒成立问题，即可以对自变量x进行分类讨论，也可对参数a分类讨论，求出答案．