Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=

6

3

，坐标原点到直线l的距离为

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=

6

3

，坐标原点到直线l的距离为

2

，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．

解答：解：（1）直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为

2

．
∴

2

b2+1

=

2

∴b=1
∵椭圆的离心率e=

6

3

，
∴

a2-1

a2

=(

6

3

)2
∴a²=3
∴所求椭圆的方程是

x2

3

+y2=1；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则有x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

∵

EC

=（x₁+1，y₁），

ED

=（x₂+1，y₂），且以CD为圆心的圆过点E，
∴EC⊥ED
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）×

9

1+3k2

+（2k+1）×（-

12k

1+3k2

）+5=0
解得k=

7

6

＞1，
∴当k=

7

6

时，以CD为直径的圆过定点E

点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．