Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，M（n，-2）是图象上的一点，A、B是二次函数图象与x轴的两个交点，且AM⊥BM，则a的值为（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：设出函数y=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标，根据AM⊥BM列出关于A，B两点的横坐标的关系式，利用根与系数关系把A，B两点的横坐标的和与积代入上面得到的关系式，再根据点在抛物线上得到另一关系式，联立后可求得a的值．

解答：解：设函数y=ax²+bx+c与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁，x₂，
所以x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

，
因为AM⊥BM，所以AM²+BM²=AB²，
所以(x1-n)2+4+(x2-n)2+4=(x2-x1)2，
整理得，n²-n（x₁+x₂）+4+x₁x₂=0，
所以，n2+

b

a

n+4+

c

a

=0，
所以an²+bn+4a+c=0．
因为M（n，-2）是图象上的一点，所以an²+bn+c=-2，
则-4a=-2，所以a=

1

2

．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了数形结合的解题思想方法，考查了学生灵活处理和解决问题的能力，是中档题．