Question

若不等式0＜ax²+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是

（-4，4）

．

Answer 1

分析：由题意，对a分a=0，a＞0，a＜0，结合不等式对应的二次函数的对称轴，开口方向，确定函数的最值，求出a的范围即可．

解答：解：由题意可得，在不等式成立的情况下 只有这几种情况．
当a=0时，b≠0，不等式的解集（0，1），适当选取b，c可以满足题意．
当a＞0时，不等式0＜ax²+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=

1

2

，开口向上，
所以x=0时，ax²+bx+c=c=1，
x=1时，a+b+c=1，
最小值为x=

1

2

时，a(

1

2

)2+

b

2

+c＞0，联立解这个不等式组得：a＜4，
在a＜0时，不等式0＜ax²+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=

1

2

，开口向下．
所以x=0时，ax²+bx+c=c=0，
且x=1时，ax²+bx+c=a+b=0
最大值为x=

1

2

时，a(

1

2

)2+

b

2

+c＜1，联立解这个不等式组得：a＞-4．
综上a的范围是：（-4，4）．

点评：本题是中档题，考查二次函数与二次不等式的关系，考查学生对函数的图象的理解，分类讨论思想的应用，考查计算能力，转化思想的应用．