Question

已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y=+x是双曲线S的一条渐近线，而且原点O，点A（a，0）和点B（0，-b）使等式成立，
（Ⅰ）求双曲线S的方程；
（Ⅱ）若双曲线S上存在两个点关于直线l：y=kx+4对称，求实数k的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）根据题意设双曲线S的方程为，
且，解方程组得，
∴所求双曲线的方程为。 
（Ⅱ）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l：y=kx+4对称；
当k≠0时，设又曲线S上的两点M、N关于直线l对称，
由l⊥MN，直线MN的方程为，
则M、N两点的坐标满足方程组，
消去y得，
显然，
∴，
即，
设线段MN中点为，
则，
∵在直线l：y=kx+4上，
∴，即，
∴，∴，解得m＞0或m＜-1，
∴或，
∴或，即或，且k≠0，
∴k的取值范围是。