Question

已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．

(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；

(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．

Answer 1

解析：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①

由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，

则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.

而g(x)的图象关于y轴对称，所以m＝－3.代入①得n＝0.

于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

由f′(x)＞0得x＞2或x＜0，由f′(x)＜0，得0＜x＜2，

∴f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(0,2)．（注：用∪扣2分）

(2)由(1)得

①当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；

②当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；

③当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

④当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．

综上得，当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值；

当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；

当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．