题目内容
已知：函数f（x）=x+
（1）判断函数的奇偶性并证明
（2）证明函数f（x）在（0，2]是减函数，并求f（x）在（0，2]上的最小值．
| 4 | x |
（1）判断函数的奇偶性并证明
（2）证明函数f（x）在（0，2]是减函数，并求f（x）在（0，2]上的最小值．
分析：（1）可得函数的定义域为{x|x≠0}，可证f（-x）=-f（x），由函数奇偶性的定义可得；
（2）任取x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，可判f（x1）-f（x2）＞0，可得单调性和最值．
（2）任取x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，可判f（x1）-f（x2）＞0，可得单调性和最值．
解答：解：（1）由题意可得f（x）=x+
的定义域为{x|x≠0}，
故可得f（-x）=-x-
=-（x+
）=-f（x），
故函数为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x1+
-（x2+
）
=（x1-x2）+（
-
）=（x1-x2）+
=（x1-x2）（1-
）=（x1-x2）
，
∵x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2-4＜0
∴（x1-x2）
＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在（0，2]是减函数，
故当x=2时，f（x）取最小值f（2）=4．
| 4 |
| x |
故可得f（-x）=-x-
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
故函数为奇函数；
（2）任取x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
=（x1-x2）+（
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4(x2-x1) |
| x1x2 |
=（x1-x2）（1-
| 4 |
| x1x2 |
| x1x2-4 |
| x1x2 |
∵x1，x2∈（0，2]且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2-4＜0
∴（x1-x2）
| x1x2-4 |
| x1x2 |
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在（0，2]是减函数，
故当x=2时，f（x）取最小值f（2）=4．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数的最值的求解，属基础题．
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