Question

已知定义在R上的函数f(x)=

b-2x

2x+a

是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知f(0)=

b-1

a+1

=0，故b=1，f(x)=

1-2x

a+2x

，f(-x)=

1-2-x

a+2-x

=

2x-1

a•2x+1

=-f(x)=

2x-1

a+2x

，由此能求出a=b=1．
（2）f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，f（x）在R上是减函数．证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=-

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，由此能够证明f（x）在R上是减函数．
（3）不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，等价于f（t-2t²）＞f（k），由f（x）是R上的减函数，知t-2t²＜k，由此能求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f(0)=

b-1

a+1

=0，
解得b=1，（1分）
∴f(x)=

1-2x

a+2x

，
∴f(-x)=

1-2-x

a+2-x

=

2x-1

a•2x+1

=-f(x)=

2x-1

a+2x

∴a•2^x+1=a+2^x，即a（2^x-1）=2^x-1对一切实数x都成立，
∴a=1，
故a=b=1．（3分）
（2）∵a=b=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，
f（x）在R上是减函数．（4分）
证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=-

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数，（8分）
（3）∵不等式f（t-2t²）+f（-k）＞0，
∴f（t-2t²）＞-f（-k），
∴f（t-2t²）＞f（k），
∵f（x）是R上的减函数，
∴t-2t²＜k（10分）
∴k＞t-2t2=-2(t-

1

4

)2+

1

8

对t∈R恒成立，
∴k＞

1

8

．（12分）

点评：本题考查函数恒成立问题的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．