Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0，当x时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=-；②f（-1）=-；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是________．

Answer 1

①②④
分析：由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．
解答：由题意和xy的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=，故①正确；
取x=，y=代入可得f（0）=f（）+f（）+，即=0+f（）+，解得f（）=-1，
再令x=y=代入可得f（-1）=f（-）+f（）+=-2+=，故②正确；
令y=-x代入可得=f（0）=f（x）+f（-x）+，即f（x）++f（-x）+=0，故f（x）+为奇函数，④正确；
取y=-1代入可得f（x-1）=f（x）+f（-1）+，即f（x-1）-f（x）=f（-1）+=-1＜0，即f（x-1）＜f（x），
故③f（x）为R上减函数，错误；
⑤错误，因为f（x）+1=f（x）++，由③可知g（x）=f（x）+为奇函数，故g（-x）+-g（x）-=-2g（x）不恒为0，
故函数f（x）+1不是偶函数
故答案为：①②④
点评：本题考查命题真假的判断，熟记函数的性质的综合应用，属中档题．