Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c，且f（x）＞0的解集为{x|x≠-

1

a

}．
（1）求f（2）的取值范围；
（2）在f（2）取得最小值时，若对于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知函数f（x）=ax²+2x+c，且f（x）＞0的解集为{x|x≠-

1

a

}，可以函数开口向上，与x轴有一个交点，从而求解；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，对于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立，利用常数分离法，可以将问题转化为

1

2

（x+2）+

2

x+2

≥m在x∈[2+∞），恒成立，从而求出m的范围；

解答：解：（1）由题意可得

a＞0 △=4-4ac=0

⇒ac=1⇒c＞0
所以f（2）=4a+4+c≥2

4ac

+4=8
当且仅当f（2）=4a+4+c≥2

4ac

+4=8
当且仅当4a=c即

a= 1 2 c=2

时“=”成立，
故f（2）的取值范围为[8，+∞）
（2）由（1）可得f（x）=

1

2

x²+2x+2=

1

2

（x+2）²，，∴f′（x）=x+2，
因为对于任意的x∈[2+∞），f（x）+2≥mf'（x）恒成立，
∴

1

2

（x+2）+

2

x+2

≥m在x∈[2+∞），恒成立，
故[

1

2

（x+2）+

2

x+2

]_min≥m即可，
又函数y=

1

2

（x+2）+

2

x+2

在x∈[2+∞）上递增，所以[

1

2

（x+2）+

2

x+2

]_min=

5

2

，
∴m≤

5

2

；

点评：此题主要考查二次函数的性质，以及解析式的求法，第二问利用了转化的思想，这是高考常考的热点问题，本题是一道中档题；