Question

已知f（x）=2cos2x+

3

sin2x
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出单调增区间；
（II）首先根据f（A）=3求出∠A，然后由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA及b²+c²≥2bc得出bc≤

a2

2(1-cosA)

，进而可以求出三角形面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1，…（3分）
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)
（Ⅱ）∵f（A）=3，∴sin(2A+

π

6

)=1．
∵0＜A＜π，∴2A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

6

．
又a²=b²+c²-2bccosA及   b²+c²≥2bc，∴bc≤

a2

2(1-cosA)

，
∴S=

1

2

bcsinA≤

a2sinA

4(1-cosA)

=

2+ 3

4

，当且仅当b=c时，取“=”．
∴S的最大值为

2+ 3

4

点评：本题考查正弦函数的单调性以及三角形的面积公式，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是中档题．