Question

已知函数f(x)=(sin

x

2

+cos

x

2

)2-2sin2

x

2

．
（I）若f(x)=

2 3

3

，求sin2x的值；
（II）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值与单调递增区间．

Answer 1

f(x)=(sin

x

2

+cos

x

2

)2-2sin2

x

2

=1+2sin

x

2

cos

x

2

-（1-cosx）
∴f（x）=sinx+cosx
（I）f（x）=sinx+cosx=

2 3

3

，两边平方得（sinx+cosx）²=

4

3

∴1+2sinxcosx=

4

3

，可得2sinxcosx=

1

3

，即sin2x=

1

3

（II）∵f（x）•f（-x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x，
f²（x）=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）=1+sin2x+cos2x，
化简，得数F（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1
当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ时，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为

2

+1
令-

π

2

+2kπ＜2x+

π

4

＜

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

3π

8

+kπ＜x＜

π

8

+kπ
∴函数F（x）单调递增区间为（-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ）．