Question

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，离心率为，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

Answer 1

(1)由题意可知：c＝1，a²＝b²＋c²，e＝＝，解得：a＝，b＝1，故椭圆的方程为：＋y²＝1.

(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，

联立，得，整理得

(1＋2k²)x²＋4k²x＋2k²－2＝0

∵直线AB过椭圆的左焦点F，

∴方程有两个不等实根，记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

AB的中点N(x₀，y₀)，

则x₁＋x₂＝，x₀＝，y₀＝，

垂直平分线NG的方程为y－y₀＝－(x－x₀)，令y＝0，得x_G＝x₀＋ky₀＝－＋＝－＝－＋，

∵k≠0，∴－＜x_G＜0.

∴点G横坐标的取值范围为(－，0).