Question

（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（I）.（II）（ⅰ）直线AE过定点.（ⅱ）的面积的最小值为16.

解析试题分析：（I）由抛物线的定义知，
解得或（舍去）.得.抛物线C的方程为.
（II）（ⅰ）由（I）知，
设，
可得，即，直线AB的斜率为，
根据直线和直线AB平行，可设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
整理可得，
直线AE恒过点.
注意当时，直线AE的方程为，过点，
得到结论：直线AE过定点.
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，
得到，
设直线AE的方程为，
根据点在直线AE上，
得到，再设，直线AB的方程为，
可得，
代入抛物线方程得，
可求得，，
应用点B到直线AE的距离为.
从而得到三角形面积表达式，应用基本不等式得到其最小值.
试题解析：（I）由题意知
设，则FD的中点为，
因为，
由抛物线的定义知：，
解得或（舍去）.
由，解得.
所以抛物线C的方程为.
（II）（ⅰ）由（I）知，
设，
因为，则，
由得，故，
故直线AB的斜率为，
因为直线和直线AB平行，
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
由题意，得.
设，则，.
当时，，
可得直线AE的方程为，
由，
整理可得，
直线AE恒过点.
当时，直线AE的方程为，过点，
所以直线AE过