Question

已知x=1是函数f(x)=

1

3

ax3-

3

2

x2+(a+1)x+5的一个极值点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用三次函数在极值点处的导数为零，即可解得a的值，进而确定函数的解析式；
（II）将两曲线有三个交点问题，转化为函数g（x）=f（x）-（2x+m）有三个零点问题，利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，找到问题的充要条件，列不等式即可解得m的范围

解答：解：（I）f′（x）=ax²-3x²+a+1
由f′（1）=0得：a-3+a+1=0
即a=1
∴f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5
（II）曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点
即

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5-2x-m=0有三个根
即g（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+5-m有三个零点
由g′（x）=x²-3x=0，得x=0或x=3
由g′（x）＞0得x＜0或x＞3，由g′（x）＜0得0＜x＜3
∴函数g（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，3）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数
要使g（x）有三个零点，
只需

g(0)＞0 g(3)＜0

即

5-m＞0 1 2 -m＜0

解得：

1

2

＜m＜5

点评：本题主要考查了导数在函数极值、单调性中的应用，三次函数的图象和性质，构造函数研究函数零点分布问题，转化化归的思想方法