Question

5．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c．已知$\sqrt{3}$bsinC-ccosB=c．
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出sin（B-$\frac{π}{6}$）的值，根据B为三角形内角，确定出B的度数即可；
（2）由b，sinB的值，利用正弦定理求出2R的值，a+c利用正弦定理化简，把2R的值代入并利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出范围即可．

解答 解：（1）∵由正弦定理知：$\sqrt{3}$sinBsinC-sinCcosB=sinC，sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，
∴sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，即-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，解得B=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）得：2R=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴a+c=2R（sinA+sinC）=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）=3sinA+$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）
∴2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
则a+c的范围为：（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．