Question

已知cos2θ=

7

8

，θ∈（

π

2

，π）．
（I）求sinθ的值；
（Ⅱ）求sin（θ+

π

6

）-sin2θ的值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的余弦公式2sin²θ=1-cos2θ，θ∈（

π

2

，π）即可求得sinθ的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得sinθ=

1

4

，θ∈（

π

2

，π），可求得cosθ及sin （θ+

π

6

）、sin2θ，从而可求得sin（θ+

π

6

）-sin2θ的值．

解答：解：（I）∵cos2θ=

7

8

，
∴1-2sin²θ=

7

8

，
∴sin²θ=

1

16

．
∵θ∈（

π

2

，π），
∴sinθ=

1

4

．
（II）∵sinθ=

1

4

且θ∈（

π

2

，π），
∴cosθ=-

15

4

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

1

4

×（-

15

4

）=-

15

8

．
∴sin （θ+

π

6

）-sin2θ=sinθ•cos

π

6

+cosθ•sin

π

6

-sin2θ
=

1

4

×

3

2

+（-

15

4

）×

1

2

-（-

15

8

）
=

3

8

．

点评：本题考查二倍角的正弦与余弦，考查推理与运算能力，属于中档题．