Question

设函数f（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在[-1，2]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=

a

x

+xlnx，如果对任意的x₁，x₂∈[

1

2

，2]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由f（x）=x³-x²-3．
得f^′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
当f^′（x）＞0时，解得x＜0或x＞

2

3

；
当f^′（x）＜0时，解得0＜x＜

2

3

．
故函数f（x）的单调递增区间是(-∞，0)，(

2

3

，+∞)；单调递减区间是(0，

2

3

)．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-m，则h（x）=x³-x²-3-m，∴h^′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
由（Ⅰ）知，当函数h（x）在（-∞，0）上单调递增，在(0，

2

3

)上单调递减，在(

2

3

，+∞)上单调递增．
函数h（x）在x=0处取得极大值h（0）=-3-m，在x=

2

3

处取得极小值h(

2

3

)=-

85

27

-m，
由函数y=f（x）-m在[-1，2]上有三个零点，则有：

h(-1)≤0 h(0)＞0 h( 2 3 )＞0 h(2)≥0

，即

-5-m≤0 -3-m＞0 - 85 27 -m＞0 1-m≥0

，解得-

85

27

＜m＜-3，
故实数a的取值范围是(-

85

27

，-3)．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，函数f（x）在(

1

2

，

2

3

)上单调递减，在(

2

3

，2)上单调递增，
而f(

1

2

)=-

25

8

，f（2）=1，
故函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值f（x）_max=f（2）=1．
∴只需当x∈[

1

2

，2]时，g(x)=

a

x

+xlnx≥1恒成立即可，即等价于a≥x-x²lnx恒成立，所以，记u（x）=x-x²lnx，所以a≥u（x）_max，u^′（x）=1-x-2xlnx，可知u^′（1）=0，
当x∈(

1

2

，1)时，1-x＞0，2xlnx＜0，则u^′（x）＞0，∴u（x）在(

1

2

，1)上单调递增；
当x∈（1，2）时，1-x＜0，2xlnx＞0，则u^′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；
故当x=1时，函数u（x）在区间[

1

2

，1]上取得最大值u（1）=1，
所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．