Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，BC∥AD，且AB=AD=2BC，E，F分别是PB、PD的中点．
（1）证明：EF∥平面ABCD；
（2）若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角．

Answer 1

分析：（1）利用△PBD中，E，F分别为PB、PD中点，根据中位线的性质可得EF∥BD，从而可证EF∥平面ABCD；
（2）易证CG⊥平面PAD，从而可得平面PAD的垂线，由此可知∠GPC是PC与平面PAD所成的角，从而可求．

解答：（1）证明：连接BD，∵在△PBD中，E，F分别为PB、PD中点，
∴EF∥BD-----（2分）
又EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD----------（6分）
（2）解：取AD中点G，连接CG、PG．
∵四边行ABCD中，BC∥AD，AD=2BC．
∴CG∥AB-----------（8分）
又∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD∴CG⊥平面PAD
∴∠GPC是PC与平面PAD所成的角-------------------（11分）
设PA=2a，则AB=CG=2 a，BC=AG=a，AC=

5

a，∴PC=

PA2+AC2

=3a
在RT△PGC中，sin∠GPC=

CG

PC

=

2a

3a

=

2

3

∴∠GPC=arcsin

2

3

即PC与平面PAD所成的角是arcsin

2

3

----------------（13分）

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面平行，线面角，关键是利用线面平行的判定，寻找平面的垂线．