Question

已知a＞b＞0，F是方程的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，与x轴平行，=，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，，
（I ）求椭圆E的离心率
（II）如果椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，直线y=kx﹣3经过A、B两点，求k²的值．

Answer 1

解：（I）∵P是椭圆E上的点，与x轴平行，
∴||=，
∵||=，
∴
∴
∴
（II）椭圆E上的点与椭圆E的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2
∴ab=2，
解方程组得，
∴椭圆的方程是
设A（x₁，kx₁﹣3），B（x₂，kx₂﹣3）
∵∴（4+k²）x₁x₂﹣3k（x₁+x₂）+9=0，
∵，得（4+k²）x₂﹣6kx+5=0
即（4+k²）x₁x₂﹣3k（x₁+x₂）+9=0
由得（4+k²）x₂﹣6kx+5=0，
∴，
∴（4+k²）x₁x₂﹣3k（x₁+x₂）+9=0，
∴56﹣4k²=0
k²=14