Question

已知函数．
（I）求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若x＞0，均有a^x（2﹣lnx）≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）依题意，x＞0，f′（x）=
由f′（x）＞0得，
解得x，
函数f（x）的单调增区间为（，+∞）
由f′（x）＜0得，
解得x，
函数f（x）的单调减区间为（0，）
∴当x=时，函数f（x）的极小值为f（）=aln+a=a﹣alna
（II）设g（x）=a^x（2﹣lnx）=2a^x﹣a^xlnx，
则函数定义域为（0，+∞）
g′（x）=2a﹣（a^x+alnx）=a（1﹣lnx）
由g′（x）=0，解得x=e，
由a＞0可知，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴函数g（x）的最大值为g（e）=a^e（2﹣lne）=a^e
要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，
即g（e）≤1也即a^e≤1，解得 a≤
又∵a＞0
∴0＜a≤