Question

【题目】已知，.

（1）求的极值；

（2） 函数有两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)在处取得极小值，且极小值，无极大值.

(2).

【解析】分析：（1）由题意，求得，令，得，得到函数的单调性，进而求解函数的极值；

（2）由已知 ，求得

当时，令得当时，得，设，利用导数求得的单调性与最值，即可求解．

详解：（1）的定义域为，，

令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以在处取得极小值，且极小值，无极大值.

（2） ，其定义域为，

则 ，

当时，仅有一解，不合题意.

当时，令得或.

由题意得，，且，所以，

此时的两个极值点分别为，.

当时，，所以，，

，而，又恒成立，则.

当时，，所以，，

.

设，则 ，

所以在上为减函数，，

所以，

又恒成立，则.

综上所述，实数的取值范围为.