Question

已知圆C:x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

思路分析:设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),再设出直线的方程后将其与圆的方程联立.则所得方程组的解就是A和B的坐标值.但不必解出A和B坐标的具体的表达式,而要将目标放在利用根与系数关系表示出题目所给条件上.其中以AB为直径的圆可表示为(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0.

解:假设直线存在,设l的方程为y=x+m,

由

得2x²+2(m+1)x+m²+4m-4=0.(*)

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁+y₂=-(m+1),x₁x₂=.

∵以AB为直径的圆(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0,

若它经过原点,则x₁x₂+y₁y₂=0.

又y₁·y₂=(x₁+m)(x₂+m)=x₁x₂+m(x₁+x₂)+m².

∴2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=0,

∴m²+3m-4=0,m=-4或m=1.

∵当m=-4或m=1时,可验证(*)式的Δ＞0,

∴所求直线l的方程是x-y-4=0或x-y+1=0.