Question

（本小题满分15分）已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：
有一个公共点A（3，1），F₁．F₂分别是椭圆的左．右焦点，直线PF₁与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，           得．  ∵m＜3，∴m＝1．
圆C：．设直线PF₁的斜率为k，
则PF₁：，即．
∵直线PF₁与圆C相切，∴．
解得．当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意舍去．
当k＝时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．F₁（－4，0），F₂（4，0）．2a＝AF₁＋AF₂＝，，a²＝18，
b²＝2．椭圆E的方程为：．
（Ⅱ），设Q（x，y），，
．∵，即，
而，∴－18≤6xy≤18．
则的取值范围是[0，36]．
的取值范围是[－6，6]．
∴的取值范围是[－12，0]．

略