Question

已知函数f（x）=e^x-x-1，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），则下列结论正确的是

1. A.
   f（x）＜0
2. B.
   f（x）＞0
3. C.
   当x＞0时f（x）＞0，当x＜0时f（x）＜0
4. D.
   当x＜0时f（x）＞0，当x＞0时f（x）＜0

Answer 1

B
分析：由f（x）=e^x-x-1，知f′（x）=e^x-1，令f′（x）=e^x-1=0，得x=0．列表讨论知，f（x）=e^x-x-1在x=0处取到最小值0，故x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，函数f（x）=e^x-x-1＞0．
解答：∵f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=e^x-1=0，得x=0．
列表：
x （-∞，0） 0 （0，+∞） f′（x）- 0+ f（x）↓ 极小值↑∴f（x）=e^x-x-1在x=0处取极小值f（0）=0，
列表讨论知，f（x）=e^x-x-1在x=0处取到最小值0，
∴x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，函数f（x）=e^x-x-1＞0．
故选B．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，合理地利用函数的最值进行转化．