Question

已知函数f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，在函数的定义域内分x∈（0，a）和（a，+∞）讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调区间；
（Ⅱ）求出函数在x=x₀处的导函数，根据题意以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，可得导函数

x0-a

x02

≤

1

2

对x₀∈（0，3]恒成立，分离参数后求函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)，得：f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

∵函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且a＞0．
∴当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′(x0)=

x0-a

x02

，
以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，
即

x0-a

x02

≤

1

2

对x₀∈（0，3]恒成立，即2x0-2a≤x02对x₀∈（0，3]恒成立，
也就是a≥-

x02

2

+x0=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

对x₀∈（0，3]恒成立，
令g（x）=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

 （x₀∈（0，3]），
当x=1时，g(x)max=g(1)=

1

2

，
∴a≥

1

2

．
∴所求实数a的最小值为

1

2

．

点评：本题考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．