Question

如图，将甲图中边长为

5 2 +2

2

的正方形铁皮，适当剪下圆O和扇形A-EPF，使得它们恰好构成乙图中圆锥的底面和侧面，则所得圆锥的体积为

 

．

Answer 1

分析：设圆锥底面圆的半径是r，母线为l，根据直线与圆相切、圆与圆相切的性质，结合正方形的边长为

5 2 +2

2

得到l+（1+

2

）r=5+

2

．再由扇形的弧长正好等于底面圆的周长，算出l=4r，从而解出r=1，进而可得此圆锥的体积．

解答：解：根据题意，欲在正方形内裁剪出圆锥的底面，则圆锥的底面圆与正方形的边和以A为中心角的扇形的弧都相切，
设圆锥底面圆的半径是r，母线为l，
可得AC=A0+C0=5+

2

，即l+（1+

2

）r=5+

2

．
∵扇形的弧长正好等于底面圆的周长，即

1

4

πl=2πr，解之得l=4r，
∴两式联解可得r=1，
由此可得l=4，圆锥的高h=

l2-r2

=

15

，
∴圆锥的体积V=

1

3

πr2h=

15

3

π．
故答案为：

15

3

π

点评：本题将正方形裁剪出圆锥的平面展开图形，求该圆锥的体积．着重考查了正方形的性质、圆锥的侧面展开图、直线与圆相切的性质和圆与圆相切的性质等知识，属于中档题．