Question

已知等差数列a_n是递增数列，且满足a₅=3，S₆=12．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）令bn=

1

anan+1

，数列b_n的前n项和S_n，若存在整数t，使S_n≤t对任意自然数n∈N^*恒成立，求t的最小值．

Answer 1

（1）根据题意：

a1+4d=3 6a1+15d=12

，解得

a1= 1 3 d= 2 3

，（3分）
故等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）•d=

2n-1

3

（6分）
（2）bn=

1

anan+1

=

1

2n-1 3 •  2n+1 3

=

9

(2n-1)(2n+1)

=

9

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
S_n=

9

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

9

2

[（1-

1

2n+1

）]=

9

2

（1-

1

2n+1

）＜

9

2

（12分）
∵t是整数，∴t的最小值是5．（15分）