Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）当x∈[-2，k]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可得c=1，再由-

b

2a

=-1，b²-4ac0=0求出a=1，b=2，c=1，从而得到f（x）的表达式．
（Ⅱ）如图所示：当-2＜k≤-1时，最小值为f（k），当k＞-1时，最小值为f（-1）．

解答：解：（Ⅰ）依题意，把点（0，1）代入函数的解析式求得c=1，
再由-

b

2a

=-1，b²-4ac=0．解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x²+2x+1．
（Ⅱ）如图所示：由于二次函数的对称轴为x=-1，
当-2＜k≤-1时，最小值为f（k）=k²+2k+1．
当k＞-1时，最小值为f（-1）=0．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，用待定系数法求函数的解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．