Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2-3x在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．
（1）求x₁，x₂的值；
（2）证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

1

3

x3-x2-3x在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，说明f′（x）=0的两个根为x₁，x₂，解方程求出x₁，x₂的值；
（2）根据两点公式，求出直线MN的方程，与曲线f（x）进行联立方程，根据零点定理进行证明，也可以解出交点；

解答：解：解法一：∵函数f(x)=

1

3

x3-x2-3x在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），
f'（x）=x²-2x-3，
的两个根为x₁，x₂，
由f'（x）=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3（3分）
令f'（x）＞0，x＞3或x＜-1，f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），f'（x）＜0，-1＜x＜3，单调减区间为（-1，3）（5分）
所以函数f（x）在x₁=-1．x₂=3处取得极值．
（2）由（1）可知，M(-1，

5

3

)．N(3，-9)（7分）
所以直线MN的方程为y=-

8

3

x-1（8分）
由

y= 1 3 x3-x2-3x y=- 8 3 x-1

得x³-3x²-x+3=0，（9分）
令F（x）=x³-3x²-x+3，易得F（0）=3＞0，F（2）=-3＜0，（11分）
而F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断的曲线，故F（x）在（0，2）内存在零点x₀，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．（12分）
解法二：同解法一，可得直线MN的方程为y=-

8

3

x-1 （8分）
由

y= 1 3 x3-x2-3x y=- 8 3 x-1

得x³-3x²-x+3=0（9分）
解得x₁=-1，x₂=1．x₃=3，
∴

x1=-1 y1= 5 3

x2=1 y2=- 11 3

x3=3 y3=-9

（11分）
所以线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点(1，-

11

3

)．  （12分）

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，第二问有两种方法，显然第一种比较实用，高次方程必须经过变形才能进行求解，一般的话3次方程学生不会求解，还是用导数研究函数的图象判断与x轴的交点问题，会比较简单；