Question

 如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC．

   （Ⅰ）求证：FB＝FC；

   （Ⅱ）求证：FB²＝FA·FD；

   （Ⅲ）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长．

                                                                                                              

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AD平分ÐEAC，∴ÐEAD=ÐDAC．

∵四边形AFBC内接于圆，∴ÐDAC=ÐFBC．

    ∵ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB，∴ÐFBC=ÐFCB，∴FB=FC．        ……………………3分

（Ⅱ）∵ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC ，ÐAFB=ÐBFD，

     ∴ΔFBA∽ΔFDB．∴，∴    FB²=FA·FD．  …………………………6分

（Ⅲ）∵AB是圆的直径，∴ÐACB=90°．

     ∵ÐEAC=120°， ∴ÐDAC=ÐEAC=60°，ÐBAC=60°．∴ÐD=30°．

     ∵BC= 6， ∴AC=． ∴AD=2AC=cm．……………………………10分