题目内容

设 $数学公式$ ，其中a为正实数．
（1）当 $数学公式$ 时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）为 $数学公式$ 上的单调函数，求a的取值范围．

解：∵ $\text{[math]}$ ，
（1）当 $\text{[math]}$ 时，若f'（x）=0，
则 $\text{[math]}$ ，

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴ $\text{[math]}$ 是极大值点， $\text{[math]}$ 是极小值点；　　　　
（2）记g（x）=ax²-2ax+1，则g（x）=a（x-1）²+（1-a），
∵f（x）为 $\text{[math]}$ 上的单调函数，
则f'（x）在 $\text{[math]}$ 上不变号，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴g（x）≥0或g（x）≤0对 $\text{[math]}$ 恒成立，
由g（1）≥0或 $\text{[math]}$ ?0＜a≤1或 $\text{[math]}$ ，
∴a的取值范围是0＜a≤1或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把a= $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，对f（x）进行求导，令f′（x）=0，解出其极值点；
（2）已知f（x）上的为单调函数，可知f′（x）在 $\text{[math]}$ 恒大于等于0，或恒小于等于0，利用求出a的取值范围．
点评：此题主要考查利用导数求函数的单调性，解此题的关键是对f（x）能够正确求导，利用了转化的思想，是一道中档题；