Question

（2011•洛阳一模）如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中；PA⊥AC上一点．
（1）确定点G的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（2）当二面角B-PC-D的大小为120°时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）G是EC的中点，利用三角形中位线的性质，证明FG∥PE，利用线面平行的判定定理，即可得到结论；
（2）过B作BH⊥PC，垂足为H，连接DH，证明∠BHD是二面角B-PC-D的平面角，从而可求PC与底面ABCD所成角的正切值．

解答：解：（1）G是EC的中点，证明如下
连接PE，因为G是EC的中点，F是PC的中点，
∴FG∥PE，
∵PE?平面PBD，FG?平面PBD，
∴FG∥平面PBD，
（2）过B作BH⊥PC，垂足为H，连接DH，
由已知△PBC≌△PDC，
∴∠BCH=∠DCH，
∴△BCH≌△DCH，
∴DH⊥PC，
∴∠BHD是二面角B-PC-D的平面角．
设底面边长为a，则BD²=2BH²-2BH²cos∠BHD，
∴BH=

6

3

a，
∵PB•BC=PC•BH，
∴

a2+PA2

•a=

2a2+PA2

•

6

3

a，
∴PA=a，
在Rt△PCA中，tan∠PCA=

PA

AC

=

a

2 a

=

2

2

，
即PC与底面ABCD所成角的正切值

2

2

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．