Question

已知双曲线=1(a＞0，b＞0)的离心率为，F₁、F₂分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且.

(1)求双曲线的方程；

(2)设A(m，0)，B(，0)(0＜m＜1)是x轴上的两点，过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，设直线BC交双曲线于另一点E，证明：直线DE垂直于x轴．

Answer 1

答案：(1)∵e=，得c=a，b=a，

又，解得M(),

而.

即a²-c²+a²=a²-c²=,

解得a²=1，b²=，

∴所求双曲线方程为：x²-4y²=1．

(2)设点C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，E(x₃，y₃)，则直线l：y=(x-m)，

则，且=1

得(-2x₁m+m₂)x²+8mm²+2mx₁-m²=0

即(m²-2x₁m+1)x²+8m-(-2mx₁+m²)=0，且m²-2x₁m+10，

于是x₁x₂=,

即x₂=,

同理可得x₃=(将上式中的m用代替)

∴x₂=x₃，即直线DE垂直于x轴．