Question

已知a、b、c是实数，函数f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax+b，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1．

(1)证明|c|≤1；

(2)证明当-1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，当-1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．

 

Answer 1

答案：
解析：

本题重点考查同学们综合运用知识分析问题和解决问题的能力，以及特殊化思想、数形结合思想、单调性思想、绝对值不等式性质，具有思维的深刻性．由于给出的函数只是一些字母关系，很抽象，论证推理的要求较高，且推理层次又深，故很难下手，需多加领会． 　　(1)∵　x∈[-1，1]时，|f(x)|≤1 　　而0∈[-1，1]，∴　|f(0)|=|c|≤1． 　　(2)当a＞0时，g(x)=ax+b在[-1，1]上是增函数 　　∴　g(-1)≤g(x)≤g(1) 　　∵　f(1)=a+b+c；f(-1)=a-b+c 　　∴　g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2 　　g(-1)=-a+b=-f(-1)+c 　　　　　 ≥-[|f(-1)|+|c|]≥-2 　　∴　-2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2． 　　当a＜0时，g(x)=ax+b在[-1，1]上是减函数 　　∴　g(1)≤g(x)≤g(-1) 　　∵　g(-1)=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c｜≤2 　　g(1)=f(1)-c≥-[|f(1)|+|c|]≥-2 　　∴　-2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2 　　当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx+c 　　∴　g(x)=f(1)-c 　　∴　|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2 　　综上所述，|g(x)|≤2 　　(3)因为a＞0，g(x)在[-1，1]上是增函数，所以g(x)的最大值是g(1)=a+b=2 　　∵　f(1)=a+b+c=2+c 　　又由|f(1)|≤1及|c|≤1 　　∴　c=-1 　　因为当-1≤x≤1时，f(x)≥-1．即f(x)≥f(0)，依据二次函数性质，知直线x=0为二次函数f(x)的图像的对称轴 　　∴　即b=0，a=2 　　∴　f(x)=2x2-1．