Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-mx²+nx+

4

3

．
（1）若函数f（x）在x=2处取得极值1，求m、n的值．
（2）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为f（x）在x=2处取得极值1，所以f（2）=1且f′（2）=0，代入联立即可求出m与n的值；
（2）根据切线与x轴平行得到切线的斜率为0即f′（2）=0，代入化简得到m与n的关系式，把关系式代入到导函数中消去n，令f′（x）=0解出x=2，x=2m-2，然后分2m-2大于2即m大于2，2m-2小于2即m小于2，2m-2等于2即m=2三种情况讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-2mx+n，函数f（x）在x=2处取得极值1
∴

f′(2)=0 f(2)=1

即

4-4m+n=0 8 3 -4m+2n+ 4 3 =1

解得

m= 5 4 n=1

；
（2）∵函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，∴f′（2）=4-4m+n=0即n=4m-4
∴f′（x）=x²-2mx+n=x²-2mx+4m-4=（x-2）[x-（2m-2）]
①当m＞2时，

∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，2m-2），（2，+∞）；
②当m＜2时，

∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，2m-2），（2，+∞）；
③当m=2时，f′（x）=（x-2）²≥0，函数f（x）的单调区间为（-∞，+∞）．
综上所述，当m＞2时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，2），（2m-2，+∞）；
当m＜2时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，2m-2），（2，+∞）；
当m=2时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．

点评：本题要求学生掌握函数取极值时的条件，会利用x的取值范围讨论导函数的正负得到函数的单调区间，会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．