Question

设函数y=f（x）定义在R上，且满足f（x）≠0，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：对x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据当x＞0时，0＜f（x）＜1，只需说明当x=0时f（x）＞0，以及当x＜0时f（x）＞0即可；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后利用对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）则

f(x1)

f(x2)

=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)＞1，从而确定f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义进行判定即可；
（3）先化简集合A即A={（x，y）|y=x²-6x+1}，集合A表示抛物线上的点，结合B表示直线上的点，根据A∩B=∅可得方程x²-6x+1-a=0无实数根，利用判别式可得所求．

解答：（1）证明：令m=n=0得f（0）=f²（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
又∵f（x）≠0
∴f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1
∴f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1
∴f(x)=

1

f(-x)

＞1
∴x＜0时f（x）＞1
∴对x∈R，都有f（x）＞0
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
则x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞1
则

f(x1)

f(x2)

=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)＞1
又∵f（x₁）＞0，f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上是减函数
（3）解：A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}

={(x，y)|f(-x2+6x-1+y)=f(0)} ={(x，y)|-x2+6x-1+y=0} ={(x，y)|y=x2-6x+1}

∵A∩B=∅
∴方程x²-6x+1-a=0无实数根
∴△=36-4（1-a）=32+4a＜0
∴a＜-8

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的单调性的判定和集合的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．