题目内容

已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（-1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长．
分析：本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法是：根据A，B，C三点的坐标，求出|BC|、AB|，再根据内角平分线定理，求出D分AC所成的比λ，再代入定比分点坐标公式，求出D点坐标，则易得BD的长．
解答：解：法一：由A（4，1），B（3，4），C（-1，2），
∴|BC|=2
5
，|AB|=
10
，
∴D分
AC
所成的比λ=
AD
DC
=
AB
BC
=
2
2
．
由定比分点坐标公式，得
xD=
4+
2
2
×(-1)
1+
2
2
=9-5
2
yD=
1+
2
1+
2
2
=
2
.

∴D点坐标为（9-5
2
，
2
）．
∴|BD|=
(9-5
2
-3)2+(
2
-4)2
=
104-68
2
．
法二：设D（x，y），
∵BD是∠ABC的平分线，
∴＜
BA
，
BD
＞=＜
BC
，
BD
＞
∴
BA
•
BD
|
BA
||
BD
|
=
BC
•
BD
|
BC
|•|
BD
|
，
即
BA
•
BD
|
BA
|
=
BC
•
BD
|
BC
|

又
BA
=（1，-3），
BD
=（x-3，y-4），
BC
=（-4，-2）
∴
x-3-3y+12
10
=
-4x+12-2y+8
20

∴（4+
2
）x+（2-3
2
）y+9
2
-20=0．①
又A、D、C三点共线，∴
AD
，
AC
共线
又
AD
=（x-4，y-1），
AC
=（x+1，y-2）
∴（x-4）（y-2）=（x+1）（y-1）．②
由①②可解得
x=9-5
2
y=
2
.

∴D点坐标为（9-5
2
，
2
），|BD|=
104-68
2
点评：如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式
x=
x1+λx2
1+λ
y=
y1+λy2
1+λ
进行求解．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC的三个顶点A（4，-6），B（-4，0），C（-1，4），求：
（Ⅰ）AC边上的高BD所在直线的方程；
（Ⅱ）BC的垂直平分线EF所在直线的方程；
（Ⅲ）AB边的中线的方程．
（2012•杨浦区一模）已知△ABC的三个顶点在抛物线Γ：x2=y上运动．
（1）求Γ的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=
π
2
，点M在BC上，且
AM
•
BC
= 0，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为
2
的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．
已知△ABC的三个顶点A、B、C及△ABC所在平面内的一点P，若
PA
+
PB
+
PC
=
0
若实数λ满足
AB
+
AC
=λ
AP
，则实数λ等于
3
3
．
已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，1），B（0，-1），C（
3
2
，
1
2
）则△ABC是（　　）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三角形
已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，2），C（0，8）
（Ⅰ）求BC边所在直线的方程；
（Ⅱ）求BC边的高所在直线的方程．

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