题目内容

设≥0，．

(1)令，讨论在(0，+∞)内的单调性并求极值；

(2)求证：当>1时，恒有>ln2一2ln+1．

解：(1)根据求导法则得．

    故，，

于是，．

列表如下：

(0,2)

2

(2，+∞)

－

0

+

极小值F(2)

    故知F()在(0，2)内是减函数，在(2，+∞)内是增函数，

    所以，在=2处取得极小值F(2)=2―21n2+2．

    (2)由≥0知，F()的极小值F(2)=2―21n2+2>0．

    于是由上表知，对一切∈(0，+∞)，恒有F()=>0．

    从而当>0时，恒有>0，

    故在(0，+∞)上单调增加，

    所以当>1时，>=0，

    即一1一ln2+2ln>0． 

    故当>1时，恒有>ln2一2ln+1． 

练习册系列答案
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已知在数列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）当t=2时，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，数列{bn}前n项的和为Sn，求证：Sn＜
1
6

（Ⅲ）设cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，数列{cn}前n项的和为Tn，求同时满足下列两个条件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）对于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，当n≥k时，Tn＞m．
设函数f(x)=lnx-
1
2
ax2-bx．
（Ⅰ）当a=b=
1
2
时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+
1
2
ax2+bx+
a
x
，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤
1
2
恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．
（2010•潍坊三模）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N，Sn=n2+
1
2
an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=λqan+λ（λ，q为常数，q＞0且q≠1），cn=（b1+b2+…+bn）+n+3，当数列{cn}为等比数列时，求实数对（λ，q）的值；
（3）若不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)…(1-
1
an
)
an+1
＜a-
3
2a
对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．

设常数a≥0，函数

(1)令，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小；

(2)求证：上是增函数；

(3)求证：当

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