Question

18．已知椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0）．且短轴一顶点B横足$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F₂的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=2，可得2b²-a²=2，又a²-b²=1，由此可求椭圆方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，则△F₁MN的周长=4a=8，${S}_{△{F}_{1}MN}$=（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此${S}_{△{F}_{1}MN}$最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F₁MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1，
由$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{B{F}_{2}}$=2，可得2b²-a²=2，
又a²-b²=1，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
故椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，
则△F₁MN的周长l=4a=8，${S}_{△{F}_{1}MN}=\frac{1}{2}$（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R．
因此${S}_{△{F}_{1}MN}$最大，R就最大，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
得${y}_{1}=\frac{-3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{2}=\frac{-3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
则${S}_{△{F}_{1}MN}=\frac{1}{2}$|F₁F₂|（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，则t≥1，
则${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
令f（t）=3t+$\frac{1}{t}$，则f′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，${S}_{△{F}_{1}MN}$≤3，
即当t=1，m=0时，${S}_{△{F}_{1}MN}$≤3，
${S}_{△{F}_{1}MN}$=4R，∴R_max=$\frac{3}{4}$，这时所求内切圆面积的最大值为$\frac{9}{16}$π．
故直线l：x=1，△F₁MN内切圆面积的最大值为$\frac{9}{16}$π．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出${S}_{△{F}_{1}MN}$最大，R就最大是关键，是中档题．