Question

【题目】已知抛物线,直线经过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为4.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知，过的直线与抛物线相交于两点，设直线与的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据抛物线中过焦点且与对称轴垂直的弦长为4可得的值，进而得到抛物线的方程．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，与抛物线方程联立后求出两点的坐标，结合根与系数的关系及斜率公式求出和，然后求出可证明为定值．

（1）由题意得抛物线的焦点为，

∴过焦点与对称轴垂直的直线为，

∴直线与抛物线的两个交点为，

由题意得，

∴抛物线的方程为．

（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，

由消去y整理得，

∵直线与抛物线交于两点，

∴，解得或．

设，

则．

∴．

∴为定值，且定值为．