Question

设f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x（x∈R）．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论g（x）在[0，1]上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）若方程g（x）-b=0在[-2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）=3^x，且f（a+2）=18求出a，再代入g（x）即可．
（Ⅱ）用证明一个函数在某个区间上的单调性的常用基本步骤：取点，作差或作商，变形，判断即可．
（Ⅲ）令t=2x 转化为t-t²-b=0在[-

1

4

，4]有两个不同的解，利用数形结合来解题．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，且f（a+2）=18，
∴3^a+2=18?3^a=2（2分）
∵g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x
∴g（x）=2^x-4^x（2分）
（2）g（x）在[0，1]上单调递减．证明如下
设0≤x₁＜x₂≤1
g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1
=(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)（2分）
∵0≤x₁＜x₂≤1，
∴2x2＞2x1，1≤2x1＜2，1＜2x2≤2
∴2≤2x1+2x2＜4
∴-3＜1-2x1-2x2＜-1，
∴(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)＜0
∴g（x₂）＜g（x₁）
∴g（x）在[0，1]上单调递减（2分）
（3）方程为2x -4x -b=0，
令t=2x x∈[-2，2]，则

1

4

≤t≤4（2分）
转化为方程为t-t²-b=0在[

1

4

，4]有两个不同的解．
∴b=t-t²即b=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
当t=

1

2

时b取最大值

1

4

当t=

1

4

时，b=

3

16

，当t=4时，b=-12
可得，当

3

16

≤b＜

1

4

时，方程有两不同解．（4分）

点评：本题是在考查指数函数的基础上，对函数的单调性，数形结合思想等的一个综合考查．在用定义证明或判断一个函数在某个区间上的单调性时，基本步骤是取点，作差或作商，变形，判断．