Question

已知圆C₁：x²+y²-2x-4y+m=0，直线x+2y-4=0与圆C₁相交于M，N两点，以MN为直径作圆C₂
（Ⅰ）求圆C₂的圆心C₂坐标；
（Ⅱ）过原点O的直线l与圆C₁、圆C₂都相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出圆心的坐标，过圓心C₁且与直线x+2y-4=0垂直的直线方程为y=2x，与直线x+2y-4=0联立求得交点即圆心的坐标，根据圆C₂的半径求得圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程圆C₁的半径为r₁，圆C₂的半径为r₂．C₁到直线y=kx的距离为d₁，C₂到y=kx的距离为d₂．直线l与圆C₁、圆C₂都相切可推断出d₁=r₁，d₂=r₂．利用勾股定理建立等式求得k，则直线l的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）设圆心C₂坐标为（x，y）．，
过圓心C₁（1，2）且与直线x+2y-4=0垂直的直线方程为y=2x，
∴

x+2y-4=0 y=2x

，解得

x= 4 5 y= 8 5

又因为圆C₂的半径为r=

( 4 5 )2+( 8 5 )2

=

4 5

5

∴圆C₂的方程为(x-

4

5

)2+(y-

8

5

)2=

16

5

．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx，圆C₁的半径为r₁，圆C₂的半径为r₂．C₁到直线y=kx的距离为d₁，C₂到y=kx的距离为d₂．
则d₁=r₁，d₂=r₂．
由图形知，r₁²=r₂²+C₁C₂²，
∴d12=d22+

1

5

∴(

|k-2|

k2+1

)2=(

| 4k 5 - 8 5 |

k2+1

)2+

1

5

，
解得：k=

9±5 2

2

．
∴直线l的方程为y=

9±5 2

2

x．

点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系及其判定．解题的关键是利用圆心与圆心的距离，圆心与直线的距离来判定．