Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（I）若函数f（x）的图象过点（0，3），求f（x）；
（Ⅱ）在（I）的条件下，对于任意x₀∈[-6，6]，求使f（x₀）≥-2的概率；
（Ⅲ）当x∈[0，1]时，试讨论|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件．

Answer 1

分析：（I）有不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）可知f（x）=2x的解为x=-1或x=3．将点（0，3）代入f（x）有a=-1，故f（x）=-x²+4x+3
（Ⅱ） 根据f（x₀）≥-2求出x的取值范围．用基本事件的长度比上总时间的长度即可
（Ⅲ） 设 r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，r（0）=1．求出对称轴，再根据 题意求出a的取值范围即可．

解答：解：设f（x）-2x=a（x+1）（x-3）（a＜0）
（I） 将点（0，3）代入f（x）有a=-1，故f（x）=-x²+4x+3-------------------（3分）
（Ⅱ）   由f（x₀）≥-2解得：-1≤x≤5
记“使f（x₀）≥-2”为事件A，则其概率为：P(A)=

5-(-1)

6-(-6)

=

1

2

．
则使f（x₀）≥-2的概率为

1

2

．-------------（6分）
（Ⅲ）   设 r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，r（0）=1，对称轴为x=-

1

2a

，
由题意，得其充要条件是

- 1 2 ≤a＜0 r(1)=a+2≤3

⇒-

1

2

≤a＜0；-------------（9分）
或

a＜- 1 2     r(1)=a+2≥-3

=1-

1

4a

≤3⇒-5≤a＜-

1

2

------------（12分）
解得：-5≤a＜0，
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件是-5≤a＜0------------（14分）

点评：本题考查概率的应用和性质，出题者巧妙地把函数和概率融合在一起，体会了出题者的智慧，解题时也要合理地运用函数的性质进行求解．