Question

对任意实数x＞1，y＞

1

2

，不等式

x2

a2(2y-1)

+

4y2

a2(x-1)

≥1恒成立，则实数a的最大值为（　　）

• A、2
• B、4
• C、

  14

  2

• D、2

  2

Answer 1

分析：不等式

x2

a2(2y-1)

+

4y2

a2(x-1)

≥1恒成立?a²≤

x2

2y-1

+

4y2

x-1

恒成立，其中x＞1，y＞

1

2

．
令t=

x2

2y-1

+

4y2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

2y-1

+

(2y-1)2+2(2y-1)+1

x-1

两次使用基本不等式即可得出．

解答：解：解：不等式

x2

a2(2y-1)

+

4y2

a2(x-1)

≥1恒成立?a²≤

x2

2y-1

+

4y2

x-1

恒成立，其中x＞1，y＞

1

2

．
令t=

x2

2y-1

+

4y2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

2y-1

+

(2y-1)2+2(2y-1)+1

x-1

≥2

(x-1)2+2(x-1)+1 2y-1 • (2y-1)2+2(2y-1)+1 x-1

=2

[(x-1)+ 1 x-1 +2][(2y-1)+ 1 2y-1 +2]

≥2

(2+2)•(2+2)

=8，当且仅当x=2y=2时取等号．
∴a²≤8，解得-2

2

≤a≤2

2

．
∴实数a的最大值为2

2

．
故选：D．

点评：本题考查了通过适当变形属于基本不等式，考查了转化和解决问题的能力，属于难题．