Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足：f(-

1

4

+x)=f(-

1

4

-x)，且f（x）＜2x的解集为(-1，

3

2

)
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-mx（m∈R），若g（x）在x∈[-1，2]上的最小值为-4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由函数图象关于直线x=-

1

4

对称，得到a=2b，再由f（x）＜2x的解集为(-1，

3

2

)得到相应方程的根为x₁=-1，x₂=

3

2

且a＞0，结合根与系数的关系可得关于a、b、c方程组，由此联解即可得到a、b、c的值，从而得到求f（x）的解析式；
（2）由（1）得函数g（x）=2x²+（1-m）x-3，图象关于直线x=

m-1

4

对称．因此分m＜-3时、-3≤m≤9时和m＞9时三种情况，根据函数的单调性列出各种情况下的最小值为4的式子，解出m的值并结合大前提进行取舍，最后综合即可得到符合题意的实数m的值．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（-

1

4

+x）=f（-

1

4

-x）
∴函数的图象关于直线x=-

1

4

对称，可得-

b

2a

=-

1

4

 即a=2b …①
又∵不等式f（x）＜2x，即ax²+（b-2）x+c＜0的解集为（-1，

3

2

）
∴方程ax²+（b-2）x+c=0的两根分别为x₁=-1，x₂=

3

2

且a＞0．
根据根与系数的关系，得

-1+ 3 2 =- b-2 a -1× 3 2 = c a

…②
联解①②得：a=2，b=1，c=-3
∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2x²+x-3
（2）函数g（x）=2x²+（1-m）x-3图象的对称轴方程为：x=

m-1

4

①当

m-1

4

＜-1时，即m＜-3时，g（x）_min=g（-1）=m-2
由m-2=-4  得m=-2＞-3不符合题意
②当-1≤

m-1

4

≤2时，即-3≤m≤9时，g（x）_min=g（

m-1

2

）=-4，
解得：m=1

+

.

2

∈[-3，9]，符合题意
③当

m-1

4

＞2时，即m＞9时，g（x）_min=g（2）=7-2m
由7-2m=-4 得m=

11

2

＜5．不符合题意
综上所述，符合题意的实数m的值为1

+

.

2

．

点评：本题给出二次函数含有字母参数的表达式，在已知函数图象对称轴的情况下求函数的表达式，并讨论另一个函数的最小值，着重考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．