Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，椭圆与y轴负半轴的交点为（0，-1）．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点D（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于A、B两点．问：是否存在k的值，使DA⊥DB？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由离心率e=

6

3

，椭圆与y轴负半轴的交点为（0，-1），解得a²=3，由此能求出椭圆方程．
（2）可假设存在这样的K的值，使DA⊥DB，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．利用垂直成立的条件建立方程求出参数K．

解答：解：（1）依题意

c a = 6 3 b=1 a2=b2+c2

，解得a²=3，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．（4分）
（2）假若存在这样的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

，
得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

，②（6分）
而y1•y2=(kx1+2)•(kx2+2)=k2x1x2+2k（x₁+x₂）+4．        
当DA⊥DB时，则

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴（k²+1）x₁x₂+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0，③（10分）
将②式代入③整理解得k=

7

6

．经验证，k=

7

6

，使①成立．
∴存在k=

7

6

，使DA⊥DB．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，探索是否存在直线的斜率，使得两直线垂直．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．注意直线和椭圆位置关系的灵活运用．