Question

已知A，B两点在抛物线C：x²＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.

(1)求证：；

(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.

(ⅰ)求证：点N在一条定直线上；    

(ⅱ)设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：∵＝0，∴.

(2)(ⅰ)点N(，－4)，所以点N在定直线y＝－4上． (ⅱ) [－，－]∪[，]．

【解析】

试题分析：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

l_AB：y＝kx＋4与x²＝4y联立得x²－4kx－16＝0，        

Δ＝(－4k)²－4(－16)＝16k²＋64>0，

x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，                             2分

(1)证明：∵＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁＋4)(kx₂＋4)

＝(1＋k²)x₁x₂＋4k(x₁＋x₂)＋16

＝(1＋k²)(－16)＋4k(4k)＋16＝0

∴.                                          4分

(2)(ⅰ)证明：过点A的切线：

y＝x₁(x－x₁)＋y₁＝x₁x－x₁²，　　①

过点B的切线：y＝x₂x－x₂²，　　②                          6分

联立①②得点N(，－4)，所以点N在定直线y＝－4上．     8分

(ⅱ)∵＝λ，

∴(x₁，y₁－4)＝λ(－x_2,4－y₂)，

联立x₁＝－λx₂，x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，

可得k²＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，                 11分

∴≤k²≤.

直线MN：y＝x＋4在x轴上的截距为k.

∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[－，－]∪[，]．       14分

考点：本题考查了向量的运用及直线与抛物线的位置关系

点评：熟练掌握向量的坐标运算，灵活运用直线的特征是解决此类问题的关键，属常考题型