Question

【题目】如图，在三棱锥中， 底面分别是的中点， 在，且.

（1）求证： 平面；

（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；

若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；(2)存在.

【解析】试题分析：（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，由，所以，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由二面角的大小为，得，化简得，又，求得即.

试题解析：

（1）由，

是的中点，得，

因为底面，所以，

在中， ，所以，

因此，又因为，

所以，

则，即，因为底面，

所以，又,

又，所以平面.

(2)假设满足条件的点，存在，

并设，以为坐标原点，分别以为轴建立空间之间坐标系，

则，

由，所以，所以，

设平面的法向量为，

则 ，取，得，

即，设平面的法向量为，

则 ，取，得，

即，

由二面角的大小为，得，

化简得，又，求得，于是满足条件的点存在，且.